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THÉORÈMES.

$Ang.\mathrm {NFN'} ={\tfrac {1}{2}}Arc\mathrm {PQP'} +{\tfrac {1}{2}}Arc\mathrm {NMN'} \,;$

donc

$F+F'=Ang.\mathrm {NFN} '\quad$ou$\quad F+F'=200^{\circ }-\mathrm {T} \,;$

puisque, dans le quadrilatère $\mathrm {TNFN} ',$ les deux angles opposés $\mathrm {N,N'}$ sont droits.

Nous avons supposé, dans ce raisonnement, que les deux foyers $\mathrm {F,F'}$ étaient intérieurs au cercle ; et c’est ce qui arrive pour l’ellipse. S’ils lui étaient extérieurs, ainsi qu’il arrive pour l’hyperbole, on trouverait que ce n’est plus la somme, mais la différence des angles $F,F'$ qui est égale au supplément de l’angle $\mathrm {T} .$

En appelant donc, pour abréger, angles vecteurs d’une même droite les angles sous lesquels cette droite est vue des deux foyers d’une section conique, on aura ce théorème, dont l’analogie avec un autre théorème très-connu est digne de remarque :

V. Lorsqu’une tangente à une section conique se termine à deux autres tangentes à la même courbe, la somme des angles vecteurs de cette première tangente, dans l’ellipse, et leur différence, dans l’hyperbole, est constante et égale au supplément de l’angle des deux tangentes fixes.^[1]

Quand la section conique devient une parabole, on a $F'=0,$ et par conséquent $F=200^{\circ }-T,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons dit plus haut. Pareillement, quand elle devient un cercle, on a $F'=F,$ et par conséquent $2F=200^{\circ }-T,$ comme on peut le vérifier a priori. Le cas où $T$ serait nul ou égal à $100^{\circ }$ offrirait aussi des circonstances remarquables ; mais nous ne nous y arrêterons pas.

1. L’angle dont il s’agit ici est celui qui comprend les deux foyers entre ses côtés dans l’ellipse, ou qui n’en comprend aucun dans l’hyperbole.