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PROBLÈME

connus ; en éliminant un nombre $n$ de coefficient $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ un nombre $n+1$ d’équations exprimant, d’après (52) ou (53), un nombre égal de valeurs connues $\operatorname {F} x',\operatorname {F} x'',\ldots V,V',V'',\ldots \,;$ on obtient finalement une équation du premier degré en $\operatorname {F} a,$ d’où l’on tire, sur-le-champ, l’expression de cette fonction, en quantités connues ; expression qui est une valeur approchée ; pourvu toutefois que le développement particulier déduit de (52 et 53) soit possible. Tel est, en général, l’esprit de la méthode qui nous a principalement occupés dans ce mémoire ; d’où il résulte qu’elle est applicable à bien d’autres choses qu’aux quadratures.

2.^o Quand il sera possible de supposer

$\operatorname {F} n=\phi +{\frac {\alpha }{n}}+{\frac {\beta }{n^{2}}}+{\frac {\gamma }{n^{3}}}+\ldots \,;\qquad (54)$

$\phi$ étant ce que devient $\operatorname {F} n,$ quand $n$ est infinie. Si l’on connaît les valeurs de $\operatorname {F} n,$ correspondant aux valeurs $n=1,\ n=2,\ n=3,\ldots \,;$ on aura

${\begin{aligned}&\operatorname {F} 1=\phi +{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\beta }{1}}+{\frac {\gamma }{1}}+\ldots ,\\&\operatorname {F} 2=\phi +{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2^{2}}}+{\frac {\gamma }{2^{3}}}+\ldots ,\\&\operatorname {F} 3=\phi +{\frac {\alpha }{3}}+{\frac {\beta }{3^{2}}}+{\frac {\gamma }{3^{3}}}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Entre celles-ci, supposées en nombre $n+1,$ on éliminera un nombre $n$ de coefficiens $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ et on aura $\phi$ par une équation du premier degré qui servira à l’exprimer en $\operatorname {F} 1,\operatorname {F} 2,\operatorname {F} 3,\ldots$ et les différentes puissances de ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots ,$ par approximation, si la forme (54) et celles qui en dérivent sont possibles.