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QUESTIONS PROPOSÉES.

$y=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots +kx^{n},$

et en répétant les mêmes opérations, on trouvera de même une 2.^me équation du premier degré, entre $A,B,C,\ldots$. En prenant donc successivement autant de cas particuliers qu’il y a d’unités dans ${\frac {n+2}{2}}$ ou ${\frac {n+1}{2}},$ suivant que $n$ est pair ou impair, on aura autant d’équations du premier degré entre $A,B,C,\ldots$ qu’il y a de ces inconnues ; et leur détermination ne souffrira plus aucune difficulté^[1].

1. Pourvu cependant que ces équations ne rentrent point, en tout ou en partie, les unes dans les autres, comme il pourrait fort bien arriver, si les cas particuliers devant servir à déterminer les relations entre les coefficiens $A,B,C,\ldots$ n’étaient pas choisis d’une manière convenable.

   Pour en donner un exemple, supposons $n=4,$ la formule générale deviendra

   $\int y\operatorname {d} x=A\left(y_{0}+y_{4}\right)+B\left(y_{1}+y_{3})\right)+Cy_{2}\,;\qquad (K)$

   de sorte que trois cas particuliers seront nécessaires pour détermmer les coefficient

   Or, le motif de la simplicité des calculs semble inviter à prendre, pour ces cas particuliers, les équations

   $y=x,\qquad y=x^{2},\qquad y=x^{3}.$

   En supposaut que $0$ et $1$ sont les limites de l’intégrale demandée, on tirera de là respectivement

   ${\begin{alignedat}{3}y_{0}=&0,&y_{0}=&0,&y_{0}=&0,\\y_{1}=&{\frac {1}{4}},&\qquad y_{1}=&{\frac {1}{16}},&\qquad y_{1}=&{\frac {1}{64}},\\y_{2}=&{\frac {2}{4}},&y_{2}=&{\frac {4}{16}},&y_{2}=&{\frac {8}{64}},\\y_{3}=&{\frac {3}{4}},&y_{3}=&{\frac {9}{16}},&y_{3}=&{\frac {27}{64}},\\y_{4}=&{\frac {4}{4}},&y_{4}=&{\frac {16}{16}},&y_{4}=&{\frac {64}{64}}\,;\\\end{alignedat}}$

   et par suite