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PROBLÈME DES QUADRATURES.
Il est évident que, tant qu’on aura pris, pour chaque cas
particulier, une valeur de
comprise dans l’équation
![{\displaystyle y=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots +kx^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816156957cbc6ad2108f78b6f24d3d2cc93c7e43)
c’est-à-dire, une fonction rationnelle entière de
, dont le degré
ne passe pas
on trouvera, pour
les mêmes
valeurs que par le procédé ordinaire, décrit au commencement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y_{0}+y_{4}=&{\frac {4}{4}},&\qquad y_{0}+y_{4}=&{\frac {16}{16}},&\qquad y_{0}+y_{4}=&{\frac {64}{64}},\\y_{1}+y_{3}=&{\frac {4}{4}},&y_{1}+y_{3}=&{\frac {10}{16}},&y_{1}+y_{3}=&{\frac {28}{64}},\\y_{2}=&{\frac {2}{4}},&y_{2}=&{\frac {4}{16}},&y_{2}=&{\frac {8}{64}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bddda3ede54cde3619024c49f3ee080430ef704)
Les mêmes équations donneront
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=\int x\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}x^{2},\int y\operatorname {d} x=\int x^{2}\operatorname {d} x={\frac {1}{3}}x^{3},\int y\operatorname {d} x=\int x^{3}\operatorname {d} x={\frac {1}{4}}x^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7611cb87b58ac0ea48de90f62da281a6dfda49)
qui, pris entre les limites
et
deviendront
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x={\frac {1}{2}},\quad \int y\operatorname {d} x={\frac {1}{3}},\quad \int y\operatorname {d} x={\frac {1}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ef111a4421b7dbfc41075bd2f49aa71c32347e)
substituant toutes ces valeurs dans la formule (K), on aura, pour
déterminer
les trois équations
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {4A+4B+2C}{4}},\quad {\frac {1}{3}}={\frac {16A+10B+4C}{16}},\quad {\frac {1}{4}}={\frac {64A+28B+8C}{64}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51805263677072b08af5bc109a0364721dd34a3c)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}2A+\ \,2B+\ \ C=1,&(1)\\24A+15B+6C=8,&(2)\\16A+\ \,7B+2C=4,&(3)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa5e59dbda1a9a3d837c8171cdcebf07df8a8da)
Or, en prenant le quart de la différence entre les équations (2, 3), on tombe
sur l’équation (1), d’où il résulte que ces équations sont insuffisantes pour déterminer ![{\displaystyle A,B,C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb08f78c36e2db95c6c012de5c005e62a4e48ea)
J. D. G.