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LOXODROMIE.
Supposons présentement que le point
soit un de ceux
de la trajectoire cherchée ; les équations de la tangente à cette trajectoire en ce point seront de la forme
![{\displaystyle x-x'={\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),\qquad y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3cc4c4871372a1a3491176503829f1bf09fdd3)
(7)
les deux coefficiens différentiels
devant être déterminés
par ces conditions, 1.o que cette tangente soit sur le plan tangent (4) ; 2.o qu’elle fasse avec l’autre tangente (6) un angle constant
que nous représenterons par ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Pour exprimer que la première de ces deux conditions est satisfaite, il ne s’agit que d’admettre que les équations (4, 7) ont
lieu en même temps ; ce qui donne, par l’élimination de
et
et la division par
![{\displaystyle 2x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+2y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067204b3bfed9113efbc9af64d74f52c916a66a8)
(8)
équation qui n’est, au surplus, que la différentielle de l’équation (1)
prise par rapport à ![{\displaystyle z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271232b18e8cc4c6391cfd51b4de388fc698459a)
Quant à la seconde condition, elle se déduit de l’inspection des
équations (4, 7) et de la formule connue qui donne le cosinus de l’angle de deux droites. On obtient ainsi
![{\displaystyle {\frac {2f(z')+x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4[f(z')]^{2}+x'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}+y'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0d19cdb61df726ea00a197388d78764076051f)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3a7914d4e7a0b0069d1a950b2f80ffb54af7a4)
ou encore