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LOXODROMIE
désignant une fonction quelconque, dont la forme caractérise
dans chaque cas particulier, la surface dont il s’agit.
Considérons, en particulier, sur cette surface, un point
nous aurons d’abord, pour ce point,
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=f(z')\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a302fa2f81cee0a722d8f5fe00f2c9e7d57b38d5)
(1)
Nous aurons ensuite, en différentiant,
![{\displaystyle 2x'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}},\quad (2)\quad 2y'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}\,;\quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41a4071e9aad7863e73d4b05dd53e888802e23a)
en conséquence, l’équation du plan tangent an ce point sera
![{\displaystyle (z-z'){\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}=2x'(x-x')+2y'(y-y')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4249446649c0f31bf134fafb6c3a49b2b93e9018)
(4)
mais l’équation du plan du méridien, pour ce même point, est
![{\displaystyle x'(x-x')=y'(y-y')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546030d9cee8349f6dacb45007f2432eb94e149f)
(5)
le système de ces deux équations appartient donc à la tangente au
méridien au point
de sorte qu’en éliminant successivement entre elles
et
on pourra prendre pour les
équations de cette tangente
![{\displaystyle 2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(x-x')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e244c14b25de0558821ad00d69272926f2e21c)
![{\displaystyle 2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(y-y')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3167d29c2d08257e5d7fb0f1f5a598b9a9a2d955)
ou encore, en vertu de l’équation (1)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}2(x-x')f(z')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),&\\\\2(y-y')f(z')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z').&\\\end{aligned}}\right\}(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a41f7752def8b7f4c4342263edc38d0da26c41)