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LOXODROMIE

${\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}=z\left\{y-(a-b)^{2}\right\}\,;$

d’où en quarrant et réduisant

$y-(a+b)^{2}=z^{2}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}\,;$

ce qui donne

$y={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}}{1-z^{2}}}\,;$

donc

$\left(a^{2}-b^{2}\right)+y=+2a.{\frac {(a+b)-(a-b)z^{2}}{1-z^{2}}},$

$\left(a^{2}-b^{2}\right)-y=-2b.{\frac {(a+b)+(a-b)z^{2}}{1-z^{2}}},$

$y-(a-b)^{2}={\frac {4ab}{1-z^{2}}},$

${\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}=z\left\{y-(a-b)^{2}\right\}={\frac {4abz}{1-z^{2}}},$

$\operatorname {d} y={\frac {8abz\operatorname {d} z}{\left(1-z^{2}\right)^{2}}}.$

Substituant toutes ces valeurs dans la formule (X), elle deviendra

$-{\frac {b\operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha }{2a^{2}}}={\frac {\left\{(a+b)-(a-b)z^{2}\right\}^{2}\operatorname {d} z}{(1-z^{2})^{2}\left\{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}\right\}\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}\,;$ (XI)

formule entièrement rationnelle.

En décomposant d’abord la fraction qui compose le second membre en trois autres, on aura

$-b\operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha =$

${\frac {b\operatorname {d} z}{1-z^{2}}}-{\frac {b\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}}}+{\frac {2\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.$

En décomposant ultérieurement les deux premières fractions, il vient