est l’ordre ou la succession des côtés du polygone inconnu, relativement à la disposition des points donnés par lesquels ils doivent passer respectivement. Or, il est évident que chacun des arrangemens possibles et différens de ces côtés donnera lieu à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à la géométrie ordinaire. La première question à résoudre ; celle qui appartient tout-à-fait à la géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est le nombre et l’espèce des polygones réellement différens, quant à la succession des côtés, qu’il est possible de former, en assujettissant ces mêmes côtés à passer par un nombre de points donnés ?
Or, il est aisé de voir que le nombre de ces polygones est
et, quant à la manière de les former, on appellera les points par où doivent passer les divers côtés du polygone, et l’on supposera que ces mêmes lettres appartiennent aussi aux côtés correspondans ; puis on placera arbitrairement toutes ces lettres, celles par exemple, sur le périmètre d’un premier cercle ; le nombre des divers arrangemens de ces trois lettres ne saurait évidemment surpasser un, parce qu’on les peut lire indifféremment de droite à gauche ou de gauche à droite. Pour passer de ce premier cas à celui où il y aurait quatre lettres il faudrait intercaler la lettre successivement entre deux des trois premières, ce qui ne donnera évidemment que trois arrangemens possibles et réellement différens, qu’il faudra écrire séparément sur trois nouvelles circonférences, afin de ne point les confondre entre eux. On trouvera pareillement les arrangemens qui correspondent à une cinquième lettre introduite parmi les autres, en l’intercalant, pour chacune des circonférences dont il vient d’être question, entre deux lettres consécutives des arrangemens de quatre lettres qu’elles repré-
