Soient les premiers côtés de ces portions de polygones et les derniers respectivement. Soient considérées ces six droites comme les côtés d’un hexagone circonscrit à la courbe, ayant pour ses côtés opposés et et et les trois diagonales joignant les sommets opposés de cet hexagone se couperont, comme l’on sait, en un même point ; et la polaire de ce point déterminera, par son intersection avec la courbe, deux points dont chacun pourra être pris pour le point de contact de la courbe avec le polygone cherché.
Parmi le grand nombre des cas particuliers que peuvent offrir nos deux problèmes, relativement à la situation des points ou des droites donnés, il en est deux qui sont trop remarquables, soit par les circonstances qu’ils présentent, soit par la simplicité de la solution qui leur est relative, pour que nous puissions nous permettre de les passer sous silence : ce sont celui où les points donnés sont en ligne droite, et celui où les droites données concourent en un même point. Proposons-nous donc ces deux problèmes :
PROBLÈME I. À une section conique donnée, inscrire un polygone de tant de sommets qu’on voudra, dont les côtés passent par un même nombre de points donnés, situés sur une même ligne droite, en ne faisant usage que de la règle seulement ?
PROBLÈME II. À une section conique donnée, circonscrire un polygone de tant de côtés qu’on voudra, dont les sommets s’appuyent sur un même nombre de droites données, concourant en un même point, en ne faisant usage que de la règle seulement ?
Solution du premier problème. Inscrivez, à volonté, à la courbe une portion de polygone, dont les côtés passent respectivement par les points donnés. Le nombre de ces points pourra être pair ou impair.
Le nombre des points donnés étant pair, si le polygone ne se referme pas de lui-même, le problème ne pourra être résolu ; et si, au contraire, il se referme de lui-même, tout autre se refermera
