Quelque incontestable que soit la supériorité de cette seconde solution, sous le rapport de la généralité et de la symétrie ; nous croyons cependant devoir observer que, lorsque les points donnés sont peu nombreux, l’autre semble lui être préférable, sous le rapport de la simplicité, attendu qu’elle exige le tracé d’un moindre nombre de lignes.
Toutes ces constructions ayant une partie arbitraire, on peut profiter de ce qu’elles présentent d’indéterminé pour les rendre plus simples. On peut, par exemple, faire passer l’un des côtés extrêmes de la portion de polygone par les deux premiers ou les deux derniers des points donnés. Ce côté comptera alors pour deux, et l’extrémité de la portion de polygone pourra être indistinctement supposée à l’une ou à l’autre de ses extrémités. En appliquant cette remarque au cas du triangle, dans la première solution, on aura deux manières de déterminer le point sur la polaire de On pourra donc se dispenser de construire cette polaire, et la recherche du sommet inconnu se réduira ainsi au tracé de neuf lignes droites seulement.
On voit, par ce qui précède, que, pour un ordre de succession quelconque des points donnés, le problème peut avoir deux solutions au plus. Puis donc que nous avons trouvé d’ailleurs que ces différens ordres étaient au nombre de il s’ensuit que le nombre des solutions sera au plus
Quoique nous ayons annoncé que nous n’insisterions pas sur le second des deux problèmes généraux que nous nous sommes proposé, à raison de l’extrême facilité avec laquelle il se ramène au premier ; nous ne pouvons cependant nous refuser au plaisir de faire connoître une construction directe de ce problème tout-à-fait remarquable par sa parfaite analogie avec celle que nous avons donnée en dernier lieu pour l’autre : la voici.
Circonscrivez successivement et à volonté à la section conique trois portions de polygones d’autant de sommets qu’il y a de droites données, et dont les sommets soient respectivement sur ces droites.
