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QUESTIONS

axes des $x$ et des $y$ se confondant l’un avec l’un des axes de la courbe et l’autre avec la tangente à son extrémité. Son équation sera, comme on sait, de cette forme

$y^{2}+Ax^{2}+Bx=0.\qquad$(1)

Appelons $\alpha ,\beta$ les coordonnées variables du sommet de l’angle constant circonscrit à la courbe ; désignons par $m,m'$ les tangentes tabulaires des angles que forment avec l’axe des $x$ les deux côtés de cet angle, et soit enfin $k$ la tangente tabulaire de l’angle donné que doivent faire ces deux côtés l’un avec l’autre ; nous aurons, d’après l’énoncé du problème, cette première équation de condition

${\frac {m-m'}{1+mm'}}=k,\quad$ou$\quad (m-m')=k(1+mm')\qquad$(2)

Parmi les divers moyens de faire trouver $m,m',$ en fonction des coordonnées $\alpha ,\beta ,$ il n’en est point de plus simple que celui employé par M. Lefrançais, à la page 105, de son Essai de géométrie analitique. Nous le rappellerons ici en peu de mots, en l’appliquant au cas particulier qui nous occupe.

Qu’on imagine une droite quelconque passant par le point ($\alpha ,\beta$), et ayant par conséquent une équation de cette forme

$y-\beta =m(x-\alpha )\,;\qquad$(3)

elle rencontrera, en général, la section conique en deux points, dont on obtiendra les abscisses, en combinant son équation (3) avec l’équation (1) de cette courbe. En exprimant ensuite que les deux racines de l’équation, laquelle on sera parvenu sont égales ; on obtiendra une équation de condition, qui indiquera évidemment que la droite en question est devenue tangente à la courbe ; et cette équation étant en $\alpha ,\beta ,m$ et des constantes, donnera précisément, pour les deux valeurs de $m,$ les valeurs cherchées $m,m'.$