Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/213

203

RÉSOLUES.

Éliminant donc $y,$ entre les équations (1, 3), puis écrivant que les deux racines de la résultante en $x$ sont égales, il viendra, toutes réductions faites

$4\left(A\alpha ^{2}+B\alpha \right)m^{2}-4(2A\alpha \beta +B\beta )m+\left(4A\beta ^{2}-B^{2}\right)=0\,;$

en désignant donc par $m,m'$ les deux racines de cette équation, on aura

$m+m'={\frac {2A\alpha \beta +B\beta }{A\alpha ^{2}+B\alpha }},$

$4mm'={\frac {4A\beta ^{2}-B^{2}}{A\alpha ^{2}+B\alpha }}\,;$

retranchant la seconde équation du quarré de la première, il viendra, en extrayant la racine quarrée

$m-m'={\frac {B{\sqrt {\beta ^{2}+A\alpha ^{2}+B\alpha }}}{A\alpha ^{2}+B\alpha }}\,;$

on aura en outre

$1+mm'={\frac {4A\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}}{4(A\alpha ^{2}+B\alpha )}}\,;$

substituant donc ces valeurs dans l’équation (2), il viendra, en quarrant

$16B^{2}\left\{\beta ^{2}+A\alpha ^{2}+B\alpha \right\}=k^{2}\left\{4A\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right\}^{2}\qquad$(4)

D’après les conditions du problème, $k$ est une quantité constante et donnée. L’équation qui précède fournira donc le système des valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui répondent aux sommets des angles égaux circonscrits à la section conique, et sera par conséquent l’équation même de la courbe cherchée^[1].

1. Si l’on suppose que cette courbe est une ellipse, et si, pour plus de symétrie, on transporte l’origine à son centre, en prenant pour son équation