Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/217

207

RÉSOLUES.

$y^{2}+Bx=0,$

et représente une parabole, elle se réduit à cette forme encore plus simple

$4\alpha -B=0\,;$

c’est évidemment l’équation de la directrice même de cette parabole.

4.^o Si, enfin, sans rien statuer sur la valeur de $k,$ on suppose, comme dans le cas qui précède, que la courbe donnée soit une parabole, et que par conséquent $A$ soit égal à zéro, l’équation générale (4) deviendra, en l’ordonnant,

$\beta ^{2}-k^{2}\alpha ^{2}+{\frac {B\left(2+k^{2}\right)}{2}}\alpha -{\frac {B^{2}k^{2}}{16}}=0\,;$

équation d’une hyperbole dont le grand axe se confond, pour sa direction, avec celui de la parabole donnée, et qui de plus a l’un de ses deux foyers en commun avec la parabole, comme cela a été énoncé à la page 13 du présent volume.

Pour prouver cette assertion, proposons-nous de rechercher les foyers de l’hyperbole dont il s’agit.

On sait qu’un des caractères du foyer d’une section conique, quand elle est rapportée à son grand axe comme axe des abscisses, est que sa distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle et entière de l’abscisse correspondante. Nommant donc $f$ la distance inconnue de ce foyer à l’origine, on aura, en faisant attention à l’équation ci-dessus de l’hyperbole ; on aura, dis-je, pour la distance de ce point à un point quelconque ($\alpha ,\beta$) de cette même courbe,

${\sqrt {\beta ^{2}+(\alpha -f)^{2}}}={\sqrt {\left(1+k^{2}\right)\alpha ^{2}-\left(2f+B.{\frac {2+k^{2}}{2}}\right)\alpha +\left(f^{2}+{\frac {B^{2}k^{2}}{16}}\right)}}.$

Cette expression ne peut être rationnelle, à moins que la quan-