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QUESTIONS

1.^o Si l’angle mobile circonscrit est nul ou égal à deux droits ; ce qui arrive lorsque ses deux côtés se confondent ; la constante $k$ est nulle aussi ; et l’équation ci-dessus devient

$\beta ^{2}+A\alpha ^{2}+B\alpha =0,$

c’est-à-dire, l’équation même de la section conique ; ce qui est d’ailleurs évident^[1].

2.^o Si la courbe donnée est une circonférence de cercle, $A$ sera égal à l’unité, et l’équation (4) deviendra, en développant et ordonnant par rapport à $\beta ^{2}+\alpha ^{2}+B\alpha ,$

$16k^{2}\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}+B\alpha \right)^{2}-8B^{2}\left(2+k^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}+B\alpha \right)+k^{2}B^{4}=0\,;$

d’où on tire

$\beta ^{2}+\alpha ^{2}+B\alpha ={\frac {B^{2}}{4k^{2}}}\left(1\pm {\sqrt {1+k^{2}}}\right)^{2}\,;$

équation qui représente le système de deux circonférences concentriques avec la proposée, comme cela était facile à prévoir.

3.^o Si l’angle invariable est droit $k$ sera infini, et l’équation (4) deviendra

$4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}=0\,;$

c’est l’équation d’une circonférence de cercle, concentrique à la section conique donnée. En supposant que $A$ soit nulle dans cette équation, auquel cas l’équation (1) de la section conique donnée devient

1. Dans le cas où $k$ est nul, on satisfait encore à l’équation (4) en posant
   $4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}=\infty \,;$

   c’est l’équation d’une circonférence concentrique avec la section conique, ayant un rayon infini. C’est qu’alors les deux côtés de l’angle invariable circonscrit sont parallèles.

   J. D. G.