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QUESTIONS

parcourait, dans toutes ses positions, une courbe du quatrième degré ; donc, dans ce cas, le degré de la courbe enveloppe de l’espace parcourue par la corde de contact ne saurait être au plus que $4(4-1)=12$ ; ce degré pourra d’ailleurs être moindre, attendu que la courbe parcourue par le sommet de l’angle n’est pas la plus générale de son degré ; mais, vu la complication des éliminations à effectuer (IV), c’est déjà quelque chose que d’avoir prouvé que la courbe demandée ne saurait être d’un degré plus élevé encore.

Quoique la réciproque d’une courbe donnée soit en général du degré $m(m-1),$ quand le degré de celle-ci est $m,$ on ne peut cependant lui mener, d’un point pris arbitrairement sur son plan, que $m$ tangentes au plus ; bien qu’il semble (VII) que le nombre des tangentes possibles, pour une courbe de ce degré soit $m(m-1).$ $\left[m(m-1)-1\right].$ Mais c’est que cette courbe n’est pas générale, c’est-à-dire qu’elle est d’une espèce particulière, parmi toutes celles du même degré ; et qu’une courbe du degré $m$ n’a pas toujours nécessairement $m(m-1)$ tangentes possibles concourant en un même point, pris à volonté sur son plan. La parabole cubique, par exemple, n’a au plus que trois tangentes, soit réelles, soit imaginaires, passant par un point arbitraire, quoiqu’une courbe du troisième degré puisse en général en avoir six, comme nous l’avons vu ci-dessus. On peut s’assurer toutefois que, même dans ce cas particulier, la courbe de contact est encore une section conique, comme dans le cas général ; mais sa nature et sa situation sont liées à celles de la parabole cubique de manière à ne couper celle-ci qu’en trois points au plus.

X. La dépendance intime entre une courbe donnée et sa polaire réciproque est extrêmement remarquable, comme on a pu le voir, par tout ce qui précède ; nous ajouterons de plus, pour compléter ce rapprochement, 1.^o que les points d’inflexion de l’une correspondent aux points de rebroussement de l’autre, et réciproquement ; 2.^o les points situés à l’infini sur l’une correspondent aux points de contact de l’autre avec les tangentes partant du centre de la