section conique directrice ; 3.o ces points de contact sont précisément les pôles des asimptotes de la première ; et ces mêmes tangentes les polaires des points situés à l’infini où ces asimptotes la touchent ; 4.o quand la proposée a une ou plusieurs branches paraboliques, c’est-à-dire, une ou plusieurs branches dont les asimptotes sont entièrement à l’infini, la réciproque a un même nombre de branches passant par le centre de la section conique directrice ; 5.o cette réciproque est ouverte ou fermée, suivant que de ce centre on peut ou on ne peut pas mener des tangentes à la courbe dont il s’agit ; et le nombre de ses branches infinies est précisément égal au nombre de ces tangentes possibles ; 6.o les points multiples de la courbe donnée, sont les pôles des tangentes communes à la fois à plusieurs branches de la réciproque, et précisément à un nombre de branches marqué par l’ordre de multiplicité des points dont il s’agit. Les points de contact de ces sortes de tangentes sont des points singuliers très-remarquables dans les courbes, en général ; et l’on voit qu’ici ces points de contact sont les pôles des tangentes aux points multiples de la courbe primitive ; 7.o etc.
Toutes ces conséquences découlent naturellement des articles V et VI qui précèdent, et il me parait inutile de m’y arrêter davantage. Je terminerai ce que je me proposais de dire sur les polaires réciproques, en faisant connaître, au moyen d’un exemple particulier, assez remarquable, le parti qu’on en peut tirer, pour la recherche ou la démonstration géométrique de certaines affections des lignes courbes, en général ; voici cet exemple :
XI. Deux courbes géométriques, l’une du degré et l’autre du degré étant tracées sur un même plan ; le nombre des tangentes qui leur sont communes est en général et au plus
Pour le prouver, traçons, dans le plan de ces deux courbes ; une section conique quelconque, et regardons-la comme la directrice commune aux polaires réciproques qui correspondent aux deux premières ; ces polaires seront (IX) en général, l’une du degré
