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D’ÉQUILIBRE.

suivant $\mathrm {OA} .$ Il faudra donc (11) que cette troisième force soit nulle, c’est-à-dire, qu’on devra avoir

$X_{x}+Y_{x}+Z_{x}=0.$

Et, comme on peut faire un pareil raisonnement sur les forces appliquées en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} \,;$ il s’ensuit que, pour que les trois forces appliquées en $\mathrm {A,B,C,}$ auxquelles nous avons réduit le système, soient dans le plan $\mathrm {ABC} ,$ il est nécessaire et il suffit qu’on ait à la fois

$\left.{\begin{aligned}X_{x}+Y_{x}+Z_{x}&=0,\\Y_{y}+Z_{y}+X_{y}&=0,\\Z_{z}+X_{z}+\ Y_{z}&=0.\\\end{aligned}}\right\}$(IV)

13. Présentement nos trois résultantes sont dans le plan du triangle $\mathrm {ABC}$ et appliquées à ses sommets ; et nous avons même décomposé chacune d’elles en deux autres dirigées suivant les côtés de ce triangle ; ce qui fait en tout six forces, réductibles deux à deux à une seule agissant suivant un côté de ce triangle. Or, lorsque trois forces sollicitent ainsi un triangle, suivant les directions de ses trois côtés, elles ne peuvent évidemment se faire équilibre qu’autant qu’elles sont séparément nulles ; puisque, dans le cas contraire, la résultante de deux quelconques, quand bien même elle serait égale et parallèle à la troisième et agissant en sens contraire, ne saurait lui être directement opposée. Il nous reste donc à exprimer que la force totale agissant suivant chacun des côtés du triangle $\mathrm {ABC}$ est nulle.

14. Considérons seulement ce qui se passe aux deux extrémités du côté $\mathrm {AB} .$ La force qui agit suivant $\mathrm {AB}$ au point $\mathrm {A}$ est la résultante de deux forces, l’une $-Y_{x}$ agissant suivant $\mathrm {AO}$ et l’autre $+Y_{x}$ perpendiculaire à cette droite, dans le plan des $xy\,;$ et la force qui agit suivant $\mathrm {BA}$ au point $\mathrm {B}$ est la résultante de deux