et la polaire focale correspondante, confondus avec ceux de cette même courbe.
Puisque la courbe parcourue dans le cas actuel n’a aucune de ses tangentes passant par le centre de la parabole qui lui sert de directrice, c’est-à-dire, n’a aucune tangente parallèle à l’axe de cette parabole, on en peut de suite conclure (XIII) que la polaire réciproque qui lui correspond est entièrement fermée, et ne saurait, par conséquent, être autre chose qu’une ellipse. Je dis de plus que cette ellipse a un de ses foyers et la polaire focale qui lui correspond en commun avec les deux premières.
En effet, si l’on se rappelle que, dans une section conique quelconque, la droite qui passe par l’un des foyers, et celle qui joint le pôle de cette droite avec le même foyer, sont perpendiculaires entre elles, quel que soit d’ailleurs celui des systèmes de ces droites qu’on ait choisi en particulier ; on pourra en conclure, pour le cas actuel, que, si d’un point pris, à volonté, sur la polaire focale commune à la parabole et à l’hyperbole proposées, on mène à ces courbes quatre tangentes, deux pour chacune, les quatre points de contact seront situés, à la fois, sur une seule et même ligne droite, passant par le foyer correspondant, laquelle sera évidemment la polaire de ce même point. Cela posé, appelons le point de la polaire focale d’où partent les tangentes[1] ; les points de contact appartenant à la courbe parcourue, c’est-à-dire, à l’hyperbole ; ceux qui appartiennent à la courbe qui sert de directrice, c’est-à-dire, à la parabole ; le foyer commun un à ces mêmes courbes ; enfin, les points où la droite rencontre la courbe enveloppe, c’est-à-dire l’ellipse. Il ne sera pas difficile de voir (V, VI) que le point de l’enveloppe est le pôle de la tangente à la parcourue ; et, par conséquent, que
- ↑ Le lecteur est prié de suppléer la figure.
