nière gratuite, à la page 13 de ce volume ; et nous avons été bien aise d’en donner en passant la démonstration, sans faire usage d’autres principes que ceux exposés dans le présent article, et sans même sortir du sujet principal qu’on s’y propose. Au reste, on pourrait démontrer, en suivant à peu près la marche qui précède, qu’en général la section conique réciproque d’une autre ne saurait avoir même foyer avec elle, et avec celle qui leur sert de directrice commune, à moins que ces dernières n’aient, à la fois, même polaire et même foyer, comme dans le cas particulier qui précède.
XV. Proposons-nous maintenant, pour terminer d’une manière conforme à ce qui a été annoncé ci-dessus, de démontrer, d’une manière purement algébrique, le théorème de l’article XII ; afin de faire connaître, par un exemple particulier, en quoi consiste la difficulté que nous avons rencontrée (III, IV), au sujet du degré de l’équation finale cherchée.
Appelons, comme nous l’avons déjà fait dans ces mêmes articles, les coordonnées courantes de la section conique donnée, dont on veut trouver la polaire réciproque, afin de les distinguer de
également les conditions demandées, situés deux à deux sur les axes de la courbe ; mais il arrive que l’un de ces deux couples, qui correspondent respectivement à ces axes, étant réel, l’autre de ces mêmes couples est par-là même imaginaire, et par conséquent inconstructible ; conséquence remarquable, et bien différente de celle à laquelle on parvient par les voies ordinaires †.
†Je crois devoir répéter ici, ce que j’ai dit ailleurs, sur ce sujet. La manière la plus générale, la plus analitique et la plus féconde à la fois de déterminer les foyers et polaires focales des sections coniques, me paraîtrait être de substituer aux coordonnées parallèles à deux axes fixes, soit les distances à des points fixes arbitraires, soit la distance à un de ces points et la distance à une droite fixe, également arbitraire ; et de profiter ensuite des constantes indéterminées que cette transformation introduit dans l’équation de la courbe, pour rendre cette équation la plus simple possible. Cette méthode, qui ne suppose absolument aucune propriété de la courbe antérieurement connue, aurait sur-tout l’avantage de pouvoir être appliquée à la recherche des points et lignes remarquables des courbes des degrés supérieurs ; mais il est fort à craindre qu’à raison des éliminations laborieuses qu’elle exige, elle ne soit jamais adoptée.
