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QUESTIONS

celles de la section conique qui sert de directrice ; en désignant celles-ci, à l’ordinaire, par $x,y.$ Puisque l’une et l’autre de ces deux courbes sont du second degré, nous pourrons représenter, en général, l’équation de la première par

$a\beta ^{2}+2b\alpha \beta +c\alpha ^{2}+2d\beta +2e\alpha +f=0,\qquad$(s)

et celle de la seconde par

$a'\beta ^{2}+2b'\alpha \beta +c'\alpha ^{2}+2d'\beta +2e'\alpha +f'=0,\qquad$(s′)

D’après les conditions du problème, la réciproque de la courbe donnée (s) doit être telle que chacune de ses tangentes ait précisément pour pôle un point ($\alpha ,\beta$) de cette dernière ; mais on trouve facilement que l’équation de la polaire d’un point ($\alpha ,\beta$), par rapport à la courbe (s′), est

$y(a'\beta +b'\alpha +d')+x(b'\beta +c'\alpha +e')+d'\beta +e'\alpha +f'=0,$

ou

$\beta (a'y+b'x+d')+\alpha (b'y+c'x+e')+d'y+e'x+f'=0,$

telle est donc aussi celle d’une tangente à la courbe cherchée.

En la différentiant, par rapport à $\alpha$ et $\beta$ seuls^[1], et laissant $x$ et $y$ constans, suivant l’esprit de la théorie des enveloppes (III), la nouvelle équation

${\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}(a'y+b'x+d')+b'y+c'x+e'=0,$

ainsi obtenue, appartiendra, avec la première, au point ou la droite que celle-ci représente touche la courbe enveloppe, c’est--

1. On pourrait, dans le cas actuel, se passer aisément du secours du calcul différentiel, en faisant attention que le point de contact cherché est précisément (V) le pôle d’une tangente correspondante de la courbe donnée ; mais nous avons préféré nous rapprocher de la marche suivie à l’article III, afin de rendre immédiatement applicables au cas général de cet article les observations que nous aurons à faire, dans le cas particulier qui nous occupe.
   (Note de l’auteur).