225
RÉSOLUES.
à-dire la courbe cherchée. En y substituant la valeur de
tirée
de l’équation (5), elle pourra prendre cette nouvelle forme
![{\displaystyle (b\beta +c\alpha +e)(a'y+b'x+d')-(a\beta +b\alpha +d)(b'y+c'x+e')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f886cd69cd5f667afdb2ed61fa808be2eaeda42c)
(b)
Le système des équations (a), (b) représentant un point quelconque
de l’enveloppe réciproque, quand on attribue à
et
des
valeurs qui conviennent à l’équation (5), il est visible qu’on obtiendra l’équation même de cette courbe, en éliminant
et
entre
ces trois équations. En faisant, pour rendre cette élimination plus facile
![{\displaystyle a'y+b'x+d'=p,\quad b'y+c'x+e'=q,\quad e'x+d'y+f'=r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a17369bdb0b0252b29681973e127d0774dbc616)
celles (a) et (b) deviendront respectivement ; en les ordonnant,
![{\displaystyle p\beta +q\alpha +r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d9279f76caa98af6e5164ff26050db4ce59683)
![{\displaystyle (bp-aq)\beta +(cp-bq)\alpha +ep-dq=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8faa2f9dc9285efc1f28b893c3355bd289347cc9)
On tire de là
![{\displaystyle \alpha =+{\frac {p(dq+br-ep)-aqr}{cp^{2}-2bpq+aq^{2}}},\qquad \beta =-{\frac {q(dq+br-ep)+r(cp-2bq)}{cp^{2}-2bpq+aq^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f73d4a52b7a6d93c6a39e95d838370690e7fd8)
ou, en faisant de nouveau, pour abréger,
![{\displaystyle dq+br-ep=B,\qquad cp^{2}-2bpq+aq^{2}=D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a1816904f15461ad5ab4add6204910efb6fec6)
![{\displaystyle \alpha =+{\frac {pB-aqr}{D}},\qquad \beta =-{\frac {qB+r(cp-2bq)}{D}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d0124d5f262c0cc7f61f7b564ab21b4710e822)
Substituant ces expressions à la place de
et
dans l’équation (s), chassant les dénominateurs, développant en particulier les termes
non affectés de
les ordonnant par rapport à
observant enfin
que l’expression
peut être remplacée par
il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&B^{2}.D-2brB.D+acr^{2}D\\+&2d\left[r(2bq-cp)-Bq\right]D\\+&2e\left[Bp-aqr\right]D+fD^{2}\\\end{aligned}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c959214a231f5fdd52721226651b1b27614bcdf)