Premier cas. Soient (fig. 6) les trois tangentes données ; soit le point de contact de la dernière, aussi donnée ; et soit enfin le point arbitraire de cette même tangente par lequel on propose d’en mener une quatrième.
Soit le point où la droite qui joint les points et est coupée par la parallèle à conduite par soit le point d’intersection de avec la parallèle à conduite par alors sera (Théor. 6) la tangente demandée.
Deuxième cas. Soient toujours les trois tangentes et le point de contact de la dernière ; mais supposons que le point arbitraire par lequel on en veut mener une quatrième tangente soit le point
Soit l’intersection de la droite qui joint les points et avec la parallèle à conduite par soit l’intersection de avec la parallèle à conduite par alors en menant ce sera (Théor. 6) la tangente cherchée.
Dans l’un et l’autre cas, le lemme n’exige pas l’intervention du compas, et n’admet qu’une solution.
LEMME 15. Étant donnés deux points du périmètre d’une parabole, et les tangentes en ces deux points ; et une droite étant menée arbitrairement par l’un d’eux ; déterminer, sur cette droite, un troisième point de la courbe ?
Solution. Soient et (fig, 13) les deux points donnés ; soient et les tangentes en ces deux points ; et soit enfin l’arbitraire sur laquelle on se propose d’assigner un troisième point de la courbe.
Soit tracé (Lemme. 5) le diamètre passant par et soit son intersection avec l’arbitraire ; soit le point où la droite conduite par et par le point de concours des tangentes coupe la parallèle menée par à en menant cette droite (Théor. 13) coupera l’arbitraire au point demandé.
Ce lemme, qui n’exige pas l’intervention du compas, n’admet qu’une solution.
