Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/315

301

RÉSOLUES.

$\xi ={\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi 'a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,$

parce que $\xi$ est zéro en même temps que $\alpha \,;$ on aura donc, par le retour des suites,

$\alpha ={\frac {1}{\Phi 'a}}\xi -{\frac {\Phi ''a}{2\Phi '^{3}a}}\xi ^{2}+\ldots \,;$

substituant cette expression de $\alpha$ dans l’équation (2), prenant $\alpha$ et $\xi$ négativement, comme l’indique la figure, et ne retenant que la première puissance de $\xi ,$ il viendra

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a-{\frac {\operatorname {F'} a}{\Phi 'a}}\xi \right)=0.$

Cette équation se simplifie en prenant l’axe $\mathrm {AG}$ du corps pour axe des $x.$ En effet, dans ce cas $a=h,\ fh=0,\ f'h=\infty ,$ d’où $\operatorname {F} h=0,$ et par conséquent

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g{\frac {\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}\xi =0,$

équation dont l’intégrale est

$\xi =\beta \operatorname {Cos} .\left(t{\sqrt {\frac {g\operatorname {F'} h}{\Phi 'h}}}+\beta '\right),$

$\beta$ et $\beta '$ étant deux constantes arbitraires.

Si maintenant on différentie les fonctions $\operatorname {F} a$ et $\Phi a,$ on trouvera

$\operatorname {F'} a={\frac {2(a+faf'a)}{\left(1+f'^{2}a\right)\left(a^{2}+f^{2}a\right)}}\left\{{\frac {1+faf''a+f'^{2}a}{a+faf'a}}-\left({\frac {f'af''a}{1+f'^{2}a}}+{\frac {a+faf'a}{a^{2}+f^{2}a}}\right)\right\},$

$\Phi a={\frac {(a+faf'a)f''a}{\left(1+f'^{2}a\right)^{\tfrac {3}{2}}}}.$