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RECHERCHE DES FOYERS

fois $\alpha =0,\beta =0,$ toujours l’un de ces systèmes aéra réel et l’autre imaginaire, Ainsi, indépendamment de deux foyers réels, situés sur son grand axe, l’ellipse en a deux autres imaginaires, situés sur son petit axe.

Si, dans ces deux séries de valeurs, on change $B$ en $B{\sqrt {-1}},$ on aura les formules qui conviennent à l’hyperbole dont l’équation est

${\frac {x^{2}}{A^{2}}}-{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-1=1\,;$

ces formules seront

${\begin{alignedat}{2}g&=0,&h&=0,\\h&={\frac {1}{B}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}},&\qquad g&={\frac {1}{A}}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}},\\k&=B{\sqrt {-1}},&k&=A,\\\alpha &=0,&\beta &=0,\\\beta &=-{\sqrt {A^{2}+b^{2}}}.{\sqrt {-1}}\,;&\alpha &=-{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\,;\end{alignedat}}$

de sorte qu’ici ce sera toujours le second système qui sera réel.

S’il s’agit de la parabole, on pourra prendre l’équation

$y^{2}-2Px=0\,;$

ce qui donnera

$a=0,\quad b=1,\quad c=0,\quad a'=-P,\quad b'=0,\quad d=0\,;$

en conséquence, nos six équations deviendront

${\begin{alignedat}{2}1-g^{2}&=0,&\alpha +kg&=\lambda P,\\1-h^{2}&=\lambda ,&\beta +kh&=0,\\gh&=0,&\qquad \alpha ^{2}+\beta ^{2}-k^{2}&=0\,;\\\end{alignedat}}$

d’où on tirera