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DES SECTIONS CONIQUES.

{\begin{alignedat}{2}g&=\pm 1,&\qquad k&={\tfrac {1}{2}}P,\\h&=\ \ 0,&\alpha &={\tfrac {1}{2}}P,\\\lambda &=\ \ 1,&\beta &=\ \ 0.\end{alignedat}}

J’observerai, en terminant, que l’équation

{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}=gx+hy+k,

offre un moyen bien simple de construire les sections coniques par l’intersection d’une droite mobile constamment parallèle à une droite fixe, avec un cercle variable de rayon, dont le centre fixe n’est autre chose que le foyer de la courbe^[1].

Agréez, etc.

Grenoble ; le 21 avril 1818.

↑ Ce que propose ici M. Bret vaut, sans contredit, incomparablement mieux que ce qu’on pratique communément, dans la vue de parvenir aux foyers des sections coniques, mais cela ne peut guère servir à découvrir les points remarquables dans les courbes des degrés supérieurs. Nous persistons donc à penser que, pour parvenir à la découverte de ces sortes de points, il faut se proposer le problème suivant :
Trouver deux points du plan d’une courbe auxquels tous les points de cette courbe étant rapportés, son équation devienne la plus simple possible ?

On voit bien que, si $f(x,y)=0$ est l’équation de la courbe, il faudra, pour résoudre le problème, éliminer $x$ et $y$ entre cette équation et les deux équations

$\left.{\begin{aligned}(x-\alpha \ )^{2}+(y-\beta \ )^{2}&=r^{2},\\(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}&=r'^{2},\end{aligned}}\right\}\qquad$ (A)

et profiter ensuite de l’indétermination des quatre constantes $\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '$ pour rendre l’équation résultante en $r$ et $r'$ la plus simple possible. Mais l’élimination ne pourrait être que très-laborieuse, même pour le second degré. À la vérité, on pourrait substituer à l’une des équations (A) la différence de ces deux

[p337-1] Ce que propose ici M. Bret vaut, sans contredit, incomparablement mieux que ce qu’on pratique communément, dans la vue de parvenir aux foyers des sections coniques, mais cela ne peut guère servir à découvrir les points remarquables dans les courbes des degrés supérieurs. Nous persistons donc à penser que, pour parvenir à la découverte de ces sortes de points, il faut se proposer le problème suivant :
Trouver deux points du plan d’une courbe auxquels tous les points de cette courbe étant rapportés, son équation devienne la plus simple possible ?

On voit bien que, si $f(x,y)=0$ est l’équation de la courbe, il faudra, pour résoudre le problème, éliminer $x$ et $y$ entre cette équation et les deux équations

$\left.{\begin{aligned}(x-\alpha \ )^{2}+(y-\beta \ )^{2}&=r^{2},\\(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}&=r'^{2},\end{aligned}}\right\}\qquad$ (A)

et profiter ensuite de l’indétermination des quatre constantes $\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '$ pour rendre l’équation résultante en $r$ et $r'$ la plus simple possible. Mais l’élimination ne pourrait être que très-laborieuse, même pour le second degré. À la vérité, on pourrait substituer à l’une des équations (A) la différence de ces deux

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