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PROBLÈMES

LEMME VI. Les tangentes menées à deux cercles, par leurs points d’intersection homologues avec une sécante commune quelconque passant par leur centre de similitude, sont parallèles entre elles[1].

LEMME VII. Les plans tangens menés à deux sphères, par leurs points d’intersection homologues avec une sécante commune quelconque, passant par leur centre de similitude, sont parallèles[2].

LEMME VIII. Soient deux cercles touchés respectivement par une même droite en et et par un même cercle en et si la droite et le cercle touchent de la même manière les deux cercles dont il s’agit, le point de concours de et sera, à la fois, sur la circonférence du cercle et sur l’axe radical des deux autres cercles.

Démonstration. En effet (fig. 1, 2, 3), les points et étant des centres de similitude ; il en résulte (Lemme VI) que d’abord et doivent rencontrer la troisième circonférence en des points dont les tangentes soient parallèles à or, il n’existe sur cette circonférence que deux tels points, lesquels sont

    avec chacun de leurs plans tangens communs sont huit points situés sur une même ligne droite, laquelle n’est autre que l’axe radical de ces trois sphères.

  1. Voyez, pour la définition des centres, axes et plans de similitude, le mémoire déjà cité de la page 326 du VI.e volume de ce recueil.
  2. Ces deux derniers lemmes résultent si évidemment de la nature et de la situation du centre de similitude, que nous croyons superflu de les démontrer ; il en résulte les conséquences suivantes :

    1.o Trois cercles étant tracés arbitrairement sur un même plan ; on peut toujours trouver trois points semblablement placés sur leurs circonférences : ce sont leurs points de contact avec les tangentes parallèles à leur axe de similitude. Le problème a huit solutions.

    2.o Quatre sphères étant données dans l’espace ; on peut toujours trouver quatre points semblablement situés sur ces quatre sphères : ce sont leurs points de contact avec les plans tangens parallèles à leur plan de similitude, Le problème a seize solutions.