Solution. Soient les deux points donnés, et le centre du cercle donné (fig. 4, 5) ; il s’agit donc de décrire trois cercles tels, 1.o que touche respectivement en 2.o que ces deux derniers se touchent eux-mêmes ; 3.o enfin qu’ils soient en même temps tous deux tangens au cercle
Supposons le problème résolu et les cercles tracés, ainsi qu’on le voit dans les figures, et soient les points de contact respectifs de avec
D’après les théorèmes connus, les trois droites concourent en un même point et on a de plus donc, si l’on mène une tangente au cercle on aura d’où il suit que le cercle qui, passant par touchera la touchera au point il touchera donc aussi le cercle en ce point. Le point est donc connu, ainsi que la direction de la tangente en ce point ; et, comme la droite est donnée, il s’ensuit que le point d’intersection de ces deux droites peut être assigné. Décrivant donc un cercle de ce point comme centre et avec pour rayon, on sait que ce cercle passera par le point de contact des deux cercles et chacun de ces deux derniers se trouvera donc assujetti à passer par un point donné et à toucher deux cercles donnés ; ces deux cercles peuvent donc être tracés ; et, lorsqu’ils le seront, rien ne sera plus facile que de construire le cercle
PROBLÈME II. Construire quatre sphères telles que chacune d’elles touche les trois autres et qui satisfassent de plus aux conditions suivantes : 1.o que les points de contact des trois premières avec la quatrième soient trois points donnés : 2.o que ces trois sphères soient tangentes à une même sphère donnée ?
Solution. Soient les quatre sphères cherchées, la sphère donnée, devant être touchée, à la fois, par les trois sphères aux points respectifs et inconnus et soient les pointa de contact donnés de ces trois mêmes sphères avec la sphère
