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DES CORPS FLOTTANS.

l’angle $\mathrm {BO} x=\alpha .$ Cela posé, si l’on conçoit la pyramide élémentaire $\mathrm {O} pqrs,$ déterminée par les deux plans consécutifs $\mathrm {A} r\mathrm {C,A} q\mathrm {B} ,$ faisant entre eux l’angle $\theta$ fort petit, et par deux autres plans consécutifs $\mathrm {O} ps,\mathrm {O} qs,$ perpendiculaires au plan $\mathrm {A} r\mathrm {C} ,$ et faisant entre eux un angle infiniment petit $d\nu \,;$ l’angle $\nu$ étant compté à partir de l’axe des $x,$ on trouvera

$Pp=-{\frac {1}{4\operatorname {Sec} .\beta }}\int \left\{r^{4}\left(\operatorname {Sin} .\nu \operatorname {Cos} .\nu -\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Cos} .^{2}\nu \right)+(m\operatorname {Tang} .\beta -n)r^{3}\operatorname {Cos} .\nu \right\}\operatorname {d} \nu ,$

$Pq=-{\frac {1}{4\operatorname {Sec} .\beta }}\int \left\{r^{4}\left(\operatorname {Sin} .^{2}\nu -\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Sin} .\nu \operatorname {Cos} .\nu \right)+(m\operatorname {Tang} .\beta -n)r^{3}\operatorname {Sin} .\nu \right\}\operatorname {d} \nu \,;$

les intégrales devant être prises depuis $\nu =0$ jusqu’à $\nu =2\varpi \,;$ formules dans lesquelles on a d’ailleurs

$r={\frac {a'b'}{\sqrt {a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\nu +b'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\nu }}}\left\{{\begin{aligned}a'&={\frac {a{\sqrt {H(2c-H)}}}{c}},\\\\b'&={\frac {b{\sqrt {H(2c-H)}}}{c}},\\\end{aligned}}\right.$

$m=-{\frac {ab{\sqrt {H(2c-H)}}}{c{\sqrt {a^{2}\operatorname {Tang} .\alpha +b^{2}}}}},\qquad n={\frac {ab}{c}}{\frac {{\sqrt {H(2c-H)}}.\operatorname {Tang} .\alpha }{\sqrt {a^{2}\operatorname {Tang} .\alpha +b^{2}}}},$

$\operatorname {Tang} .\beta ={\frac {b^{2}}{a^{2}\operatorname {Tang} .\alpha }},\qquad \operatorname {Sec} .\beta ={\frac {\sqrt {a^{4}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha +b^{4}}}{a^{2}\operatorname {Tang} .\alpha }}.$

Les différentielles à intégrer sont, comme l’on voit,

$r^{4}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Sin} .\nu \operatorname {Cos} .\nu ,\ r^{3}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Sin} .\nu ,\ r^{3}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Cos} .\nu ,\ r^{4}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Sin} .^{2}\nu ,\ r^{4}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Cos} .^{2}\nu .$

Il est aisé de voir, 1.^o que l’intégrale de la première de ces différentielles est algébrique ; 2.^o que la seconde et la troisième sont du genre de celles que l’on appelle binômes, et sont par conséquent faciles à intégrer ; 3.^o enfin que la quatrième et la cinquième sont