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DES QUADRATURES.

$\operatorname {d} y=\operatorname {Log} .(1+\Delta )y,\qquad$(3)

$\Delta ^{-1}y=\Sigma y=(\operatorname {E} -1)^{-1}y=\operatorname {E} ^{-1}y+\operatorname {E} ^{-2}y+\operatorname {E} ^{-3}y+\ldots +K$

$=\left(e^{d}-1\right)^{-1}y+K,\quad$(4)

$\operatorname {d} ^{-1}y={\frac {1}{\omega }}\int y\operatorname {d} x=\left\{\operatorname {Log} .(1+\Delta )\right\}^{-1}y+K,\qquad$ (5)

$e$ est, à l’ordinaire, la base du système de logarithmes Népérien, et $K$ une quantité uniquement assujettie à satisfaire à la condition $\Delta K=0$.

De (4) on conclut, sur-le-champ, par le développement de l’expression $\left(e^{d}-1\right)^{-1},$ la série

$\Sigma y=\left\{\operatorname {d} ^{-1}-{\frac {1}{2}}\operatorname {d} ^{0}+{\frac {B_{1}}{1.2}}\operatorname {d} -{\frac {B_{2}}{1.2.3.4}}\operatorname {d} ^{3}+\ldots \right\}y$

$={\frac {1}{\omega }}\int y\operatorname {d} x-{\frac {1}{2}}y+{\frac {\omega B_{1}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\omega ^{3}B_{2}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}+{\frac {\omega ^{5}B_{3}}{1.2\ldots 6}}{\frac {\operatorname {d} ^{5}y}{\operatorname {d} x^{5}}}$

$-\ldots +K\,;\quad$(6)

où les coefficiens

$B_{1}={\frac {1}{6}},\qquad B_{2}={\frac {1}{30}},\qquad B_{3}={\frac {1}{42}},\qquad B_{4}={\frac {1}{30}},\ldots$

sont ce qu’on appelle les Nombres de Bernouilli : ils sont aussi ceux de l’équation identique

$1-{\frac {1}{2}}\omega \operatorname {Cot} .{\frac {1}{2}}\omega ={\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}+{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}+{\frac {\omega ^{6}B_{3}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \qquad$(7)

Je suppose $x$ positif, et qu’une de ces valeurs antécédentes soit $a,$ à laquelle répond $\nu =\operatorname {F} a.$ Je fais $x-a=n\omega ,$ d’où $a=x-n\omega .$ Soient $x,a$ deux abscisses extrêmes positives d’une courbe plane, ayant pour ordonnées rectangulaires correspondantes $y,\nu \,;$ après avoir divisé l’intervalle entre ces ordonnées en $n$ parties égales chacune à $\omega ,$ et imaginé, par chaque point de division, les ordonnées