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PROBLÈME

intermédiaires équidistantes, le système de nos $n+1$ ordonnées pourra être exprimé par la double suite

$\left.{\begin{array}{rrrrrr}y,&\operatorname {E} ^{-1}y,&\operatorname {E} ^{-2}y,&\operatorname {E} ^{-3}y,&\ldots \operatorname {E} ^{n-1}y,&\operatorname {E} ^{-n}y\,;\\\operatorname {E} ^{n}\nu ,&\operatorname {E} ^{n-1}\nu ,&\operatorname {E} ^{n-2}\nu ,&\operatorname {E} ^{n-3}\nu ,&\operatorname {E} \nu ,&\nu \,;\\\end{array}}\right\}$(8)

où les termes correspondans, supérieurs et inférieurs, expriment une même ordonnée. Cela étant, après avoir mis $\nu$ pour $y$ dans (6), et retranché le résultat de (6) ; si, pour abréger, on fait

$Z=\int y\operatorname {d} x-\int \nu \operatorname {d} a,\qquad T=\omega (\Sigma y-\Sigma \nu +{\frac {1}{2}}y-{\frac {1}{2}}\nu ),\qquad$(9)

on aura la série

$Z=T-{\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} a}}\right)+{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}\right)$

$-{\frac {\omega ^{6}B_{3}}{1.2\ldots 6}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{5}y}{\operatorname {d} x^{5}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{5}\nu }{\operatorname {d} a^{5}}}\right)+\ldots \,;\quad$(10)

dans laquelle $Z$ est visiblement l’intégrale $\int y\operatorname {d} x,$ prise entre les limites $a$ et $x$, ou bien l’aire plane terminée par les ordonnées $\nu ,y,$ l’intervalle $x-a$ et l’arc de courbe intercepté. D’autre part, à cause de (4 et 8), on a

$T={\frac {1}{2}}\omega \left(y+\operatorname {E} ^{-1}y\right)+{\frac {1}{2}}\omega \left(\operatorname {E} ^{-1}y+\operatorname {E} ^{-2}y\right)+\ldots +{\frac {1}{2}}\omega (\operatorname {E} \nu +\nu )\,;$

c’est-à-dire, que $T$ est la somme des aires de la suite des trapèzes rectilignes compris chacun entre deux ordonnées consécutives, l’axe des $x$ et la corde de l’arc intercepté ; et cela, dans toute l’étendue entre les limites $\nu ,y.$ Par les mêmes raisons, l’expression $\omega (\Sigma y-\Sigma \nu )$ est la somme, prise entre les mêmes limites, des rectangles ayant pour hauteurs successives $\operatorname {E} ^{-1}y,\operatorname {E} ^{-2}y,\nu$ et même base $\omega ,$ somme qui serait évidemment plus petite que l’aire $Z,$ si la suite précédente était continuellement décroissante. Dans la même hypothèse, cette autre expression $\omega (\Sigma y-\Sigma \nu +y-\nu ),$ qui est celle de la somme des rectangles ayant pour hauteurs les ordonnées $y,\operatorname {E} ^{-1},\operatorname {E} ^{-2}y,\ldots \operatorname {E} \nu ,$