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DES QUADRATURES.
II. Les séries (10, 14, 18) appartiennent à la classe de celles
qui expriment l’intégrale
par le moyen de l’intégrale finie et des différentielles successives
Il est bien facile d’en
obtenir qui donnent
par les seules différentielles. En effet, en
supposant encore ou, plus simplement, ce
qui revient à prendre pour unité, on a, par le Théorème de Taylor,
regardant comme continue, multipliant par puis intégrant
par rapport à entre les limites et on obtient sur-le-champ
(19)
Si, dans celle-ci, on change en en et en ce
qui revient à prendre pour origine des le pied de l’ordonnée et à passer de là à dans le sens des négatives, on verra facilement qu’on obtient, en valeur absolue, une aire égale à mais de signe contraire. Ainsi, on a cette autre série
(20)
Cette dernière série est proprement celle qui porte le nom de
Jean Bernouilli, qui la publia, dans les Acta eruditorum, dès
l’année 1674.
En changeant simplement en dans (19), on a l’aire comprise entre et ou entre et et, en retranchant
le résultat de (19), on aura évidemment l’aire comprise entre
et
ou entre
et ainsi, en désignant cette
aire par on a une troisième série