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PROBLÈME

$W=2n\nu +{\frac {2n^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {2n^{5}}{1.2.3.4.5}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \quad$(21)

Ici $W$ deviendra égal à $Z$, pourvu qu’on change $2n$ en $n,$ et $\nu$ en $\operatorname {E} ^{{\frac {1}{2}}n}\nu \,;$ c’est-à-dire qu’on a encore

$Z=n\operatorname {E} ^{{\frac {1}{2}}n}\nu +{\frac {n^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\operatorname {E} ^{{\frac {1}{2}}n}\nu }{2^{2}\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {n^{5}}{1.2.3.4.5}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\operatorname {E} ^{{\frac {1}{2}}n}\nu }{2^{4}\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \quad$(22)

$\operatorname {E} ^{{\frac {1}{2}}n}\nu$ sera une des ordonnées équidistanles, lorsque $n$ sera un nombre pair.

III. Les séries (19, 20, 21, 22) sont en différentielles seules ; on en aura en différences seules, par le même précédé, si, au lieu du Théorème de Taylor, on emploie, pour développer $y$ ou $\operatorname {E} ^{n}\nu ,$ le Théorème des différences. Ainsi, on a

$y=\operatorname {E} ^{n}\nu =\nu ={\frac {n}{1}}\Delta ^{2}\nu +{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\Delta ^{2}\nu +\ldots \,;$

multipliant par $\operatorname {d} n,$ intégrant par rapport à $n,$ entre les limites $0$ et $n$, on trouve sur-le-champ

$Z=n\nu +{\frac {1}{2}}n^{2}\Delta \nu +\left({\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n^{2}}{2}}\right){\frac {\Delta ^{2}\nu }{1.2}}+\left({\frac {n^{4}}{4}}-{\frac {3n^{3}}{3}}+{\frac {2n^{2}}{2}}\right){\frac {\Delta ^{3}\nu }{1.2.3}}+\ldots$

Cest la série donnée par M. Kramp (Annales, tom. VI, pag. 372 et suiv.)

IV. Je borne là l’exposition des séries par le moyen desquelles on peut exprimer l’intégrale $\int y\operatorname {d} x$. Il faut voir, à présent, quel parti on peut en tirer. 1.^o Toutes ces séries, comme celles du théorème des différences et du théorème de Taylor, dont au fond les premières ne sont que les modifications ou les conséquences pro-