Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/115

111

RÉSOLUES.

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g'\operatorname {Cos} .^{2}\beta \right)\operatorname {Cos} .(\phi +\beta )-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}+g''\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta \right)\operatorname {Sin} .(\phi +\beta )=0.$

faisant, pour abréger,

$g'\operatorname {Cos} .^{2}\beta =\xi ,\qquad g''\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta =\xi ',$

et conservant l’angle $\phi ',$ on aura

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-\xi \right)\operatorname {Cos} .\phi '-\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}-\xi '\right)\operatorname {Sin} .\phi =0.$

Cette équation a la même forme que l’équation, (A) déjà traitée : elle donnera

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\xi \operatorname {Cos} .^{2}\phi '-\xi '\operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Cos} .\phi ',\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\xi '\operatorname {Sin} .^{2}\phi '-\xi \operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Cos} .\phi '.\end{aligned}}$

On déduit de la première

${\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k-{\frac {\xi }{3}}\left(2+\operatorname {Cos} .^{2}\phi '\right)\operatorname {Sin} .\phi '+{\frac {\xi '}{3}}\operatorname {Sin} .^{3}\phi ',$

et de la seconde

${\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=k'+{\frac {\xi }{3}}\operatorname {Sin} .^{3}\phi '+{\frac {\xi '}{3}}\left(2-\operatorname {Sin} .^{2}\phi '\right)\operatorname {Cos} .\phi '.$

En faisant $\beta =0,$ ces deux dernières formules deviennent celles qu’on a déjà trouvées ci-dessus ; lorsqu’on n’a pas égard au frottement.