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RÉSOLUES.
Or, au point d’intersection
l’équation doit convenir également
aux deux droites
il faut donc qu’elle soit indépendante
de l’angle
et qu’elle ne soit composée que des seules quantités
qui sont communes aux deux positions ; il faut donc que
et
demeurent constans tandis que
varie, c’est-à-dire, que la
différentielle de l’équation ci-dessus, prise par rapport à
seulement,
doit avoir lieu en même temps qu’elle. Cette différentielle étant
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .\phi -y\operatorname {Sin} .\phi =a\left(\operatorname {Cos} .^{2}\phi -\operatorname {Sin} .^{2}\phi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2bb4290d4a9e475630032de274e1e5305ac66d)
il ne s’agit plus que d’éliminer
entre elle et l’équation primitive.
Pour y parvenir, regardons
comme les deux inconnues
de ces équations ; nous en tirerons aisément
![{\displaystyle x=a\operatorname {Cos} .^{3}\phi ,\qquad y=a\operatorname {Sin} .^{3}\phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdbc1c3bc10e102131309cdad805499cc306d8b)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .^{2}\phi =\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\phi =\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1e49dd0490cfa0c71e7721f562b98b70497f07)
donc enfin l’équation de la courbe cherchée est
[1]
- ↑ C’est précisément la courbe de la page 376 du VIII.e volume de ce
recueil, si ce n’est que la droite mobile qui y était représentée par
l’est
ici par
Si l’on compare cette équation avec celle que nous avons trouvée à la page 288
du V.e volume de ce recueil, et qu’on pourrait mettre sous cette forme
![{\displaystyle \left({\frac {x}{a'}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b'}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af0c75aeeb66899dee5a983fb62acfc4a0e565b)