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RÉSOLUES.

Or, au point d’intersection $\mathrm {N} ,$ l’équation doit convenir également aux deux droites $\mathrm {AB,A'B'} \,;$ il faut donc qu’elle soit indépendante de l’angle $\phi ,$ et qu’elle ne soit composée que des seules quantités $a,x,y$ qui sont communes aux deux positions ; il faut donc que $x$ et $y$ demeurent constans tandis que $\phi$ varie, c’est-à-dire, que la différentielle de l’équation ci-dessus, prise par rapport à $\phi$ seulement, doit avoir lieu en même temps qu’elle. Cette différentielle étant

$x\operatorname {Cos} .\phi -y\operatorname {Sin} .\phi =a\left(\operatorname {Cos} .^{2}\phi -\operatorname {Sin} .^{2}\phi \right),$

il ne s’agit plus que d’éliminer $\phi$ entre elle et l’équation primitive.

Pour y parvenir, regardons $x,y$ comme les deux inconnues de ces équations ; nous en tirerons aisément

$x=a\operatorname {Cos} .^{3}\phi ,\qquad y=a\operatorname {Sin} .^{3}\phi \,;$

donc

$\operatorname {Cos} .^{2}\phi =\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}},\qquad \operatorname {Sin} .^{2}\phi =\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\,;$

donc enfin l’équation de la courbe cherchée est

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.$^[1]

1. C’est précisément la courbe de la page 376 du VIII.^e volume de ce recueil, si ce n’est que la droite mobile qui y était représentée par $2c$ l’est ici par $a.$

   Si l’on compare cette équation avec celle que nous avons trouvée à la page 288 du V.^e volume de ce recueil, et qu’on pourrait mettre sous cette forme

   $\left({\frac {x}{a'}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b'}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.$