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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Il est facile de s’assurer que cette courbe (fig. 13) a quatre points de rebroussement situés sur les deux axes à des distances de l’origine égales à $a$ ; et qu’elle est symétrique non seulement par

on en pourra conclure que la courbe dont il s’agit est, par rapport à la développée de l’ellipse ce que le cercle est lui-même par rapport à l’ellipse. On ne saurait pourtant en conclure que cette courbe soit la développée d’un cercle, puisqu’une telle développée se réduit à un point.

Mais on est conduit à soupçonner que cette même courbe pourrait bien être la développée d’une ellipse dont les deux axes, infinis l’un et l’autre, auraient néanmoins une différence finie.

Pour vérifier ce soupçon prenons l’équation

$\left({\frac {ax}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {by}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1$

de la développée de l’ellipse ; équation dans laquelle $a,b$ sont les deux demi-axes ; soit fait

$a-b=c,\quad$d’où$\quad b=a-c,\quad$et$\quad a^{2}-b^{2}=2ac-c^{2}\,;$

l’équation deviendra ainsi

$\left\{{\frac {ax}{2ac-c^{2}}}\right\}^{\frac {2}{3}}+\left\{{\frac {(a-c)y}{2ac-c^{2}}}\right\}^{\frac {2}{3}}=1\,;$

ou encore

$\left\{{\frac {x}{2c-{\frac {c^{2}}{a}}}}\right\}^{\frac {2}{3}}+\left\{{\frac {\left(1-{\frac {c}{a}}\right)y}{2c-{\frac {c^{2}}{a}}}}\right\}^{\frac {2}{3}}=1$

équation qui se réduit en effet à

$\left({\frac {x}{2c}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{2c}}\right)^{\frac {2}{3}}=1,$

lorsqu’on suppose $a$ infini.