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THÉORIE

chacune des combinaisons de lettres qui s’y trouvent répétées plusieurs fois ; ils opèrent ensuite sur les nouveaux symboles qu’ils ont ainsi institués comme ils l’avaient fait sur les premiers ; et, si leurs formules se compliquent de nouveau, ils les simplifient encore par un semblable procédé, et parviennent enfin, par l’application répétée du même artifice, à un dernier résultat dont la simplicité n’a, pour ainsi dire, d’autres limites que celles qu’il leur plaît de lui assigner. À la vérité, ce résultat final renferme autre chose que les élémens primitifs de la question à laquelle il se rapporte, et peut même ne renfermer aucun de ces élémens ; mais il n’en est pas pour cela moins intelligible, puisque les symboles dont il se compose représentent des combinaisons connues soit de ces élémens, soit d’autres symboles intermédiaires, qui en sont eux-mêmes des combinaisons absolument déterminées. C’est ainsi, par exemple, que si l’on a la formule

$x={\frac {\left(1+a^{2}\right)+{\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}}+\left(1+b^{2}\right)}{\left(1+a^{2}\right)-{\sqrt {\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}}+\left(1+b^{2}\right)}},$

en y faisant

${\sqrt {1+a^{2}}}=A\,;\qquad {\sqrt {1+b^{2}}}=B,$

elle devient

$x={\frac {A^{2}+{\sqrt {AB}}+B^{2}}{A^{2}-{\sqrt {AB}}+B^{2}}},$

qui devient elle-même

$x={\frac {M}{N}},$

en posant à la fois

$A^{2}+{\sqrt {AB}}+B^{2}=M,\qquad A^{2}-{\sqrt {AB}}+B^{2}=N.$

C’est encore ainsi que continuellement, dans le calcul, on remplace les séries