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COURBURE DES LIGNES

On en conclura (3), pour celle du plan normal par le même point

$a^{2}a'^{2}\left(b^{2}c'^{2}-c^{2}b'^{2}\right){\frac {x-x'}{x'}}+b^{2}b'^{2}\left(c^{2}a'^{2}-a^{2}c'^{2}\right){\frac {y-y'}{y'}}$

$+c^{2}c'^{2}\left(a^{2}b'^{2}-b^{2}a'^{2}\right){\frac {z-z'}{z'}}=0\quad (7)$

On voit, par ce qui précède, que, si les équations d’une courbe passant par l’origine ressemblent seulement à celles d’une autre courbe, passant également par l’origine, dans les termes du premier ordre ; quelque différence qu’elles puissent présenter d’ailleurs, ces deux courbes auront en ce point la même tangente et le même plan normal. Il n’est pas même nécessaire pour cela que les deux couples d’équations se ressemblent dans leurs premiers termes ; car, soient

$\left.{\begin{aligned}0&=ax+dyz+gx^{2}+\ldots \\&+by+ezx+hy^{2}+\ldots \\&+cz+fxy+kz^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(8)

$\left.{\begin{aligned}0&=a'x+d'yz+g'x^{2}+\ldots \\&+b'y+e'zx+h'y^{2}+\ldots \\&+c'z+f'xy+k'z^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(8′)

les deux équations d’une courbe, les équations de sa tangente par l’origine seront

$a\,x+b\,y+c\,z=0,\qquad$(9)

$a'x+b'y+c'z=0\,;\qquad$(9′)

de sorte que cette courbe aura, en ce point, la même tangente que la courbe (1), si seulement les équations (9, 9′) ont lieu en même temps que les équations (2, 2′). ce qui entraîne la double condition