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COURBURE DES LIGNES

Si l’on veut mener un plan tangent à la surface (1), par le point $(x',y',z'),$ on écrira d’abord

${\begin{aligned}0&=A(x'+x)+D(y'+y)(z'+z)+G(x'+x)^{2}+\ldots \\&+B(y'+y)+E(z'+z)(x'+x)+H(y'+y)^{2}+\ldots \\&+C(z'+z)+F(x'+x)(y'+y)+K(z'+z)^{2}+\ldots \end{aligned}}$

Développant et posant l’équation de condition

$\left.{\begin{aligned}0&=Ax'+Dy'z'+Gx'^{2}+\ldots \\&+By'+Ez'x'+Hy'^{2}+\ldots \\&+Cz'+Fx'y'+Kz'^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(9)

L’équation du plan tangent, rapporté aux axes primitifs, sera

${\begin{aligned}0&=(A+Ez'+Fy'+2Gx'+\ldots )(x-x')\\&+(B+Fx'+Dz'+2Hy'+\ldots )(y-y')\\&+(C+Dy'+Ex'+2Kz'+\ldots )(z-z')\end{aligned}}$

ou, plus simplement, en lui ajoutant le double de l’équation (9) et réduisant

$\left.{\begin{aligned}0&=A(x+x')+D(yz'+zy')+2G(xx')^{2}+\ldots \\&+B(y+y')+E(zx'+xz')+2H(yy')^{2}+\ldots \\&+C(z+z')+F(xy'+yx')+2K(zz')^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(10)

Quant aux équations de la normale, par le même point, elles seront (3)

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {x-x'}{A+Ez'+Fy'+2Gx'+\ldots }}\\=&{\frac {y-y'}{B+Fx'+Dz'+2Hy'+\ldots }}\\=&{\frac {z-z'}{C+Dy'+Ex'+2Kz'+\ldots }}\end{aligned}}\right\}\quad$(11)