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ET DES SURFACES COURBES.


Section II.
Des contacts du second ordre.

Dans la précédente section, nous n’avons présenté aucun résultat qu’on ne sache aujourd’hui obtenir sans rien emprunter au calcul différentiel ; et nous n’avons fait simplement qu’offrir, pour parvenir à ces résultats, des méthodes qui nous paraissent, à la fois, plus simples et plus naturelles que celles qu’on a coutume d’appliquer à leur recherche. Il n’en sera pas de même, dans la présente section, où il sera question des centres et rayons de courbure, cercles et plans osculateurs, développées et lignes de courbure ; et il n’est pas à notre connaissance que ces divers objets aient été traités jusqu’ici, d’une manière simple, par les procédés de l’analise ordinaire.

Nous suivrons d’ailleurs ici la même marche que dans la section précédente ; c’est-à-dire, que nous traiterons successivement de l’osculation dans les courbes planes, dans les courbes à double courbure et dans les surfaces courbes.

§. I.
De l’osculation dans les courbes planes.

Si l’on conçoit qu’une droite indéfinie se meuve sur le plan d’une courbe plane donnée quelconque, de manière à lui être constamment normale ; la courbe enveloppe de l’espace parcouru par cette droite, c’est-à-dire, la courbe à laquelle, dans son mouvement, elle ne cessera pas d’être tangente, est ce qu’on appelle la développée de cette courbe donnée, laquelle, à l’inverse, en est appelée la développante. On les a ainsi nommées parce que, si l’on conçoit qu’un fil soit d’abord appliqué le long de la développée, et qu’on le développe ensuite en le tenant toujours tendu, l’un de ses points parcourra évidemment la développante. Quant à ses autres points,