la courbe en ce point sera moindre ou plus grand que celui du cercle ; mais, lorsqu’il s’agit du cercle osculateur, la courbure variable de la courbe se trouvant, au point de contact, exactement égale à la sienne, cette courbure devra lui être supérieure d’un côté de ce point et inférieure de l’autre ; ainsi, tandis que, d’un côté du point de contact, le cercle passera entre la courbe et sa tangente, de l’autre côté de ce point, ce sera la courbe, au contraire, qui passera entre cette tangente et lui ; c’est-à-dire, que le cercle osculateur de l’un des points d’une courbe coupe et touche à la fois cette courbe en ce point[1] ; il est évident, en outre, qu’il est le seul, entre les cercles tangens, qui puisse être dans ce cas.
Soient menées à une courbe quelconque deux normales, l’une fixe et l’autre mobile ; elles toucheront sa développée en deux points distincts et se couperont elles-mêmes en un troisième point. Mais, à mesure que la normale mobile se rapprochera de la normale fixe, deux de ces points tendront sans cesse à se confondre avec le troisième, et ils se confondront, en effet, en un seul qui sera le centre de courbure répondant à la normale fixe, lorsqu’enfin la normale mobile se confondra tout-à-fait avec elle. Le calcul, appliquée ces considérations, va nous conduire simplement à la détermination du centre de courbure d’une courbe quelconque en l’un quelconque de ses points ; d’où il nous sera facile de conclure le rayon de courbure et le cercle osculateur.
Reprenons l’équation
- ↑ Il faut en excepter les points de la courbe où sa courbure est maximum ou minimum ; mais ceci rentre dans la théorie des points singuliers, que nous avons précédemment écartée.
