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COURBURE DES LIGNES

exprimant une courbe plane quelconque, passant par l’origine des coordonnées. Nous avons vu (Sect. I, §. I.) que les normales à cette courbe par l’origine et par le point quelconque $(x',y'),$ avaient respectivement pour équations

${\frac {x}{A}}={\frac {y}{B}},\qquad$(3)

${\frac {x-x'}{A+Fy'+2Gx'+\ldots }}={\frac {y-y'}{B+Fx'+2Hy'+\ldots }}\,;\qquad$(13)

sous la condition

$\left.{\begin{aligned}0&=Ax'+Fx'y'+Gx'^{2}+\ldots \\&+By'\qquad \qquad +Hy'^{2}+\ldots \\\end{aligned}}\right\}\quad$(12)

On aura donc l’intersection des deux normales en considérant comme équations d’un même problème déterminé en $x,y,$ soit le système de deux équations (3, 13) soit tout système de deux équations déduites d’une manière quelconque de la combinaison de ces deux-là. En y chassant les dénominateurs elles deviennent respectivement

$Ay-Bx=0,\qquad$(14)

${\begin{aligned}&(A+Fy'+2Gx'+\ldots )y-(B+Fx'+2Hy'+\ldots )x\\\\=&(A+Fy'+2Gx'+\ldots )y'-(B+Fx'+2Hy'+\ldots )x'\,;\\\end{aligned}}$

dont la dernière, en vertu de l’autre, se réduit à

$\left.{\begin{aligned}&\qquad (Fy'+2Gx'+\ldots )y-(Fx'+2Hy'+\ldots )x\\\\=&(A+Fy'+2Gx'+\ldots )y'-(B+Fx'+2Hy'+\ldots )x'\,;\\\end{aligned}}\right\}\quad$(15)

on pourra donc, dans la recherche de l’intersection des deux normales, substituer au système des équations (3, 13) le système