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COURBURE DES LIGNES

Si l’on représente par $R$ le rayon de courbure de la courbe (1), pour le même point ; on aura

R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,;

c’est-à-dire, en substituant

R={\frac {\left(A^{2}+B^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\left(GB^{2}-FAB+HA^{2}\right)}}\qquad

(18)

En conséquence, le cercle osculateur aura pour équation

x^{2}+y^{2}+{\frac {\left(A^{2}+B^{2}\right)(Ax+By)}{GB^{2}-FAB+HA^{2}}}=0.

^[1]

\qquad

(19)

↑ Si l’on mène une sécante à une courbe plane par deux de ses points et si l’on conçoit que l’un de ses points se rapproche sans cesse de l’autre, en suivant le cours de la courbe, et en entraînant avec lui la sécante qui tournera ainsi autour de ce dernier ; lorsqu’enfin ces deux points se confondront, la sécante deviendra tangente.
Pareillement, par trois points quelconques pris sur une courbe, soit fait passer un cercle ; et concevons que le second de ces points vienne joindre le premier, en suivant le cours de la courbe, et entraînant avec lui le cercle qui conséquemment variera à la fois de situation et de grandeur ; lorsque ces deux points se confondront, le cercle sera simplement tangent à la courbe. Si ensuite le troisième point vient joindre les deux autres, sous les mêmes condition, lorsqu’il les aura atteints, le cercle tangent sera osculateur.

Voilà pourquoi on considère la tangente et le cercle tangent comme ayant avec la courbe deux points communs qui se confondent en un seul ; et voilà aussi pourquoi on considère le cercle osculateur comme ayant avec la courbe trois points communs qui se confondent également en un seul.

Cela revient évidemment à considérer la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés ; sa tangente comme le prolongement de l’un de ses côtés ; ses cercles tangens comme des cercles qui ont ce côté pour corde commune ; et enfin son cercle osculateur comme un cercle qui passe par trois de ses sommets consécutifs.

[1] Si l’on mène une sécante à une courbe plane par deux de ses points et si l’on conçoit que l’un de ses points se rapproche sans cesse de l’autre, en suivant le cours de la courbe, et en entraînant avec lui la sécante qui tournera ainsi autour de ce dernier ; lorsqu’enfin ces deux points se confondront, la sécante deviendra tangente.
Pareillement, par trois points quelconques pris sur une courbe, soit fait passer un cercle ; et concevons que le second de ces points vienne joindre le premier, en suivant le cours de la courbe, et entraînant avec lui le cercle qui conséquemment variera à la fois de situation et de grandeur ; lorsque ces deux points se confondront, le cercle sera simplement tangent à la courbe. Si ensuite le troisième point vient joindre les deux autres, sous les mêmes condition, lorsqu’il les aura atteints, le cercle tangent sera osculateur.

Voilà pourquoi on considère la tangente et le cercle tangent comme ayant avec la courbe deux points communs qui se confondent en un seul ; et voilà aussi pourquoi on considère le cercle osculateur comme ayant avec la courbe trois points communs qui se confondent également en un seul.

Cela revient évidemment à considérer la courbe comme un polygone d’une infinité de côtés ; sa tangente comme le prolongement de l’un de ses côtés ; ses cercles tangens comme des cercles qui ont ce côté pour corde commune ; et enfin son cercle osculateur comme un cercle qui passe par trois de ses sommets consécutifs.

[1]