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ET DES SURFACES COURBES.

des équations (14, 15), lesquelles, pour ce point, ont lieu en même temps qu’elles.

Mais, à mesure que le point $(x',y')$ se rapprochera de l’origine, la dernière tendra sans cesse à se réduire à

$(Fy'+2Gx')y-(Fx'+2Hy')x=Ay'-Bx',$

ou

$(A-Fy+2Hx)y'=(B-Fx+2Gy)x'\,;$

d’un autre côté, dans les mêmes circonstances, l’équation de condition (12) tendra de plus en plus à devenir simplement

$Ax'+By'=0\,;$

au moyen de laquelle on pourra éliminer à la fois $x',y'$ de l’autre qui se réduira ainsi à

$A(A-Fy+2Hx)+B(B-Fx+2Gy)=0,$

ou bien

$(2AH-BF)x+(2BG-AF)y+\left(A^{2}+B^{2}\right)=0.\qquad$(16)

Ainsi, lorsque les deux normales seront fort voisines, leur point d’intersection sera sensiblement donné par le système des deux équations (14, 16) ; il le sera donc rigoureusement, lorsque ces deux normales se confondront, puisqu’alors $x',y'$ seront rigoureusement nuls ; il est donc vrai de dire que le centre de courbure à l’origine est donné par le système des deux équations (14, 16). On en tire, pour les coordonnées de ce centre

$x=-{\frac {A\left(A^{2}+B^{2}\right)}{2\left(GB^{2}-FAB+HA^{2}\right)}},\ y=-{\frac {B\left(A^{2}+B^{2}\right)}{2\left(GB^{2}-FAB+HA^{2}\right)}}.$ (17)

Ce sont donc là aussi les équations du point de contact de la développée avec la normale à l’origine.