Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/162

156

COURBURE DES LIGNES

${\begin{aligned}0&={\frac {2x'}{a^{2}}}x+{\frac {1}{a^{2}}}x^{2}\\\\&+{\frac {2y'}{b^{2}}}y+{\frac {1}{b^{2}}}y^{2}\end{aligned}}$

Comparant cette dernière équation, terme à terme, avec l’équation (1), nous aurons

${\begin{array}{lll}A={\frac {2x'}{a^{2}}},&F=0,&G={\frac {1}{a^{2}}},\\\\B={\frac {2y'}{b^{2}}},&&H={\frac {1}{b^{2}}}\,;\end{array}}$

d’où

$A^{2}+B^{2}=4\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right),$

$GB^{2}-FAB+HA^{2}={\frac {4}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}\right)\,;$

ou simplement, en vertu de la relation (5)

$GB^{2}-FAB+HA^{2}={\frac {4}{a^{2}b^{2}}}\,;$

substituant enfin ces valeurs dans les formules (17, 18) nous aurons, d’abord pour le rayon de courbure,

$R=a^{2}b^{2}\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}},\qquad$(20)

et ensuite pour les équations du centre de courbure ; rapporté aux axes primitifs,