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ET DES SURFACES COURBES.

$x-x'=-b^{2}x'\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right),\qquad y-y'=-a^{2}y'\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right).$

de ces dernières, on tire, en transposant,

$x=x'\left\{1-b^{2}\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right)\right\},\qquad y=y'\left\{1-a^{2}\left({\frac {x'^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{4}}}\right)\right\}\,;$

mettant pour $1,$ dans l’une et dans l’autre, sa valeur donnée par la relation (5), elles deviendront, en réduisant,

$x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}.{\frac {x'^{3}}{a^{3}}},\qquad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}.{\frac {y'^{3}}{b^{3}}}\,;\qquad$(22)

et telles sont les équations du centre de courbure, pour le point $(x',y')$ de la courbe (4), réduites à leur forme la plus simple.

Ayant ainsi obtenu les équations du centre de courbure d’une courbe, pour l’un quelconque $(x',y')$ de ses points, rien n’est plus aisé que d’obtenir l’équation de la développée de cette courbe ; il ne s’agit en effet pour cela que d’éliminer $x',y'$ entre les équations de ce centre et l’équation de condition qui exprime que le point $(x',y')$ est sur la courbe.

Ainsi, dans l’exemple qui vient de nous occuper, on tire des équations (22)

${\frac {x'}{a}}=\left({\frac {ax}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}},\qquad {\frac {y'}{b}}=\left({\frac {by}{b^{2}-a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\,;$

valeurs qui, substituées dans l’équation (5), donne pour l’équation ; de la développée de la courbe (4),

$\left({\frac {ax}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left({\frac {by}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}=1.\qquad$(23)

Si l’on prend pour axe des $x$ la tangente même à la courbe par l’origine ; auquel cas l’axe des $y$ en sera la normale, l’équation