S’agit-il présentement d’obtenir le plan osculateur de l’un quelconque des points d’une courbe à double courbure quelconque, on transportera d’abord l’origine en ce point, en changeant respectivement dans les deux équations de la courbe, en On développera les puissances et produits de puissances de ces binômes, négligeant, dans le développement, les termes de plus de deux dimensions en Égalant ensuite à zéro, dans chaque équation l’ensemble des termes indépendans de ces variables, on obtiendra ainsi les deux équations de condition qui exprimeront que le point est sur la courbe. Les équations transformées se trouveront ainsi réduites à la forme des équations (1, 1′). Égalant donc respectivement les coefficiens des unes à ceux des autres, on obtiendra ainsi les valeurs de
en fonction de et des constantes des équations de la courbe ; on en conclura ensuite les valeurs de et substituant le tout dans l’équation (29), elle deviendra celle du plan osculateur demandé, rapporté à la nouvelle origine ; de sorte que, pour le rapporter à l’origine primitive, il faudra changer respectivement en
Appliquons ce procédé à la courbe donnée par les deux équations
C’est la courbe suivant laquelle se coupent les surfaces de deux cylindres droits égaux, d’un rayon égal à et qui se pénètrent de telle sorte que leurs axes sont à angles droits, et que l’axe de chacun est tangent à l’autre. Nous aurons d’abord
