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COURBURE DES LIGNES

${\begin{aligned}4(x'+x)^{2}+4(z'+z)^{2}-4r(z'+z)-3r^{2}&=0,\\4(y'+y)^{2}+4(z'+z)^{2}+4r(z'+z)-3r^{2}&=0\,;\end{aligned}}$

développant et posant les deux conditions

${\begin{array}{lr}4x'^{2}+(2z'-r)^{2}-4r^{2}=0,&\qquad (33)\ \\4y'^{2}+(2z'+r)^{2}-4r^{2}=0\,;&\qquad (33')\end{array}}$

les équations transformées seront

${\begin{array}{lll}0=2x'x+x^{2},&0=2y'y+y^{2}\\+(2z'-r)z+z^{2},&+(2z'+r)z+z^{2}\end{array}}$

qui, comparés respectivement aux équations (1, 1′), donneront

${\begin{alignedat}{4}A\ &=2x',&\quad B\ &=0,&\quad C\ &=2z'-r,&\quad D\ &=0,\\A'&=0,&B'&=2y',&C'&=2z'+r,&D'&=0,\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{5}E\ &=0,&\quad F\ &=0,&\quad G\ &=0,&\quad H\ &=1,&\quad K\ &=1,\\E'&=0,&F'&=0,&\quad G'&=1,&H'&=0,&K'&=1\,;\end{alignedat}}$

de là on conclura

$a=-2y'(2z'-r),\qquad b=-2x'(2z'+r),\qquad c=4x'y'\,;$

et, par suite, en ayant égard aux relations (33, 33′),

$L=4y'^{2}\left[4x'^{2}+(2z'-r)^{2}\right]=16r^{2}y'^{2},$

$L'=4x'^{2}\left[4y'^{2}+(2z'+r)^{2}\right]=16r^{2}x'^{2}\,;$

d’où encore

$AL'-LA'=+32r^{2}x'^{3},\qquad BL'-LB'=-32r^{2}y'^{3},$

$CL'-LC'=16r^{2}\left[2z'\left(x'^{2}-y'^{2}\right)-r\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\right]=24r^{3}\left(4z'^{2}-r^{2}\right)\,;$