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COURBURE DES LIGNES

Dans le cas de l’équation (32), l’équation (10) du plan tangent par le point $(x',y',z')$ devient simplement

$\left.{\begin{aligned}0=C(x+x')+D(yz'+zy')+2Gxx'+\ldots &\\+E(zx'+xz')+2Hyy'+\ldots &\\+2Kzz'+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad$(36)

ce plan tangent coupe le plan tangent à l’origine, c’est-à-dire, le plan des $xy,$ suivant une droite dont on obtiendra l’équation, en égalant $z$ à zéro dans celle-ci ; cette équation sera donc

$(Ez'+2Gx'+\ldots )x+(Dz'+2Hy'+\ldots )y+Cz'=0,\qquad$(37)

sous la condition

$\left.{\begin{aligned}0=Cz'+Dy'z'+2Gx'^{2}+\ldots &\\+Ez'x'+Hy'^{2}+\ldots &\\+Kz'^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad$(38)

mais, à mesure que le point $(x',y',z')$ se rapprochera de l’origine, elle tendra à se réduire à

$(Ez'+2Gx')x+(Dz'+2Hy')y+Cz'=0\,;\qquad$(39)

cipales ont leur convexité tournées en sens inverses ; les courbures des autres sections normales peuvent prendre tous les degrés possibles de petitesse ; et en particulier ces courbures sont tout-à-fait nulles, lorsque les sections sont faites suivant les asymptotes de l’hyperbole, qui sont ainsi osculatrices de la surface. Enfin, si l’un des deux coefficiens $G,H$ est nul, l’indicatrice se réduit au système de deux parallèles, et la courbure minimum, parallèle à ces droites, est seule nulle.