les lignes de courbure de cette surface. Celles d’une série coupent donc perpendiculairement toutes celles de l’autre série ; de sorte qu’en quelque nombre qu’elles soient, elles divisent toujours la surface dont il s’agit en quadrilatères courbes dont tous les angles sont droits.
Si, sur une surface courbe, on trace une courbe quelconque, les normales menées à la surface par tous les points de cette courbe appartiendront généralement à une surface gauche ; mais, si la courbe dont il s’agit est une ligne de courbure, la surface gauche se changera en une surface développable, ayant pour arête de rebroussement l’ensemble des centres de courbure qui répondent à cette ligne. L’ensemble des arêtes de rebroussement des surfaces gauches qui répondent à toutes les lignes de courbure d’une surface donnée forme une nouvelle surface à deux nappes, lieu des centres de plus grande et de moindre courbure de tous les points de cette surface, et à laquelle toutes ses normales sont tangentes.
Après avoir ainsi étudié la courbure d’une surface, en la rapportant à la normale et aux deux tangentes principales de l’un de ses points, il ne nous reste plus qu’à généraliser nos résultats, afin de les rendre facilement applicables à tout point d’une surface courbe quelconque, autre que l’origine des coordonnées.
Reprenons pour cela l’équation générale
d’une surface passant par l’origine ; celle
de sa normale par ce point ; et enfin celle
