est celle d’une surface qui coupe la surface (32) en tous les points desquels les normales rencontrent l’axe des
Or, cette équation est celle d’une surface conique passant par les trois axes, d’où l’on peut conclure que la courbe dont ii s’agit a deux branches qui se coupent à l’origine suivant les directions des axes des et des Ainsi, plus deux normales qui se coupent approchent de se confondre et plus aussi le plan normal qui les contient tend à se confondre avec le plan de l’une des sections principales, et il se confond rigoureusement avec lui lorsqu’enfin la seconde normale a atteint la première.
Cela revient évidemment à dire qu’en partant de l’un quelconque des points d’une surface courbe, il n’y a, en général, que deux directions suivant lesquelles on puisse cheminer sur cette surface de manière que la normale en ce point soit rencontrée par celle qui la suit immédiatement ; et ces deux directions, toujours perpendiculaires l’une à l’autre, sont celles des sections principales qui répondent à ce point. Cette remarque est due à Monge.
Concevons que l’on trace, sur une surface courbe, une courbe telle que la tangente en chacun de ses points soit dirigée suivant la section principale de plus grande courbure qui répond à ce point ; une telle courbe sera dite une ligne de plus grande courbure de cette surface ; et il est clair qu’on peut concevoir de telles lignes par chacun de ses points. Si, au contraire, la tangente en chacun des points de la courbe est dirigée suivant la section principale de moindre courbure, cette courbe sera dite ligne de moindre courbure ; et on pourra également en concevoir une pareille par chacun des points de la surface proposée. Les lignes de plus grande et de moindre courbures d’une surface courbe sont appelées d’un nom commun les lignes de courbure principales ou simplement
